Sous-espace caractéristique
Définition
Définition :
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\)
On note \(N_\lambda\) le sous-espace caractéristique : $${{N_\lambda}}={{\ker((A-\lambda\operatorname{Id})^m)}}$$ avec \(m\) la multiplicité de \(\lambda\) dans \(P_A\)
Définition du sous-espace caractéristique \(N_\lambda\) :
- \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\)
- \(m\) est la multiplicité de la racine \(\lambda\) dans le polynôme caractéristique \(P_A\) de \(A\)
$$\Huge\iff$$
- $$N_\lambda:=\ker((A-\lambda\operatorname{Id})^m)$$
Propriétés
Dimension
On a \(\operatorname{dim} N_\lambda=m\), avec \(m\) la multiplicité de \(\lambda\) dans \(P_A\) N\lambda=\ldots\(
Puissance
Si \)m\( est la multiplicité de \)\lambda\( dans \)P_A\(, alors \)\forall p\geqslant m\(, on a \)${{\ker(A-\lambda\operatorname{Id})^p}}={{N_\lambda}}$$
Collection des bases - Théorème de la décomposition de Dunford
La collection des bases de \(N_{\lambda_i}\) forme une base de \(E\) : $$\left.\begin{array}{l}e_1^{(1)},\ldots,e_{m_1}^{(1)}\text{ base de }N_{\lambda_1}\\ \vdots\\ e_1^{(k)},\ldots,e_{m_k}^{(k)}\text{ base de }N_{\lambda_k}\end{array}\right\}\;e^{(i)}_j\text{ une base de }E$$
Dans cette base, la matrice de \(A\) prend la forme :
(
Collection)
Théorème de la décomposition de Dunford - Décomposition de DunfordForme normale de Jordan - Réduction de Jordan
Autres
Remarque :
Pour \(i\neq j\), on considère la restriction de \(A-\lambda_j\operatorname{Id}\) à \(N_{\lambda_i}\). Alors...- \((A-\lambda_j\operatorname{Id})(N_{\lambda_i})\subset {{N_{\lambda_i} }}\)
- \((A-\lambda_j\operatorname{Id}):{{N_{\lambda_i} }}\to {{N_{\lambda_i} }}\)
